偶然间拜读到数学大师克莱因写的科普读物《高观点下的初等数学》，联想起机器学习中超参数学习，不禁天南海北、天马行空感慨一番，望各位看官笑纳。
克莱因是横跨19、20世纪最伟大的数学家之一，作为19世纪末20世纪初最有影响力的学派--------哥廷根学派的创始人，大师一生不仅在专业上做出了诸多数学史上的开辟性工作，而且积极投身致力于德国的基础数学教育的改革。克莱因认为应该将近现代数学的观点引入中学教育[1]，用近代数学的观点改造中学数学内容，微积分就是在克莱因的倡导推动下进入德国中学课本，并为全世界教育界所效仿。克莱因还认为中学数学教师应该具有较高的数学观点，应使学生知道数学不是孤立的各门学问而是有机的整体，“倡导高观点下的数学”，他认为站在更高的视角看问题，问题越简单，只有观点高了事物才显得简单明了，许多的初等数学的现象只有在非初等的理论框架下才更更容易理解。
莫里斯克莱因
我国著名数学家龚升与克莱因持相同的观点，龚升老师曾提到他上小学的时非常不理解鸡兔同笼问题[2]，老师教的巧妙解法他完全不能接受，后来甚至完全忘掉，后来到了中学阶段学了多元一次方程，才感觉一切豁然开朗，并且牢记终生，龚升老师很不解这么简单的问题为什么要用小学那么复杂的技巧来解决。大师说自己学不会小学那些古怪技巧当然有谦虚之嫌，然而也足见技巧之于数学只是锦上添花的东西，而真正质的革命来自于符号化和抽象。龚升老师认为，一些“高级”的数学往往十分简单明了，更有概括性，极易记住，而相对而言一些较为“低级”的数学往往复杂，不易记住。从而所以可以得到启示是：“高级”的数学未必难，“低级”的数学未必容易。法国数学家希尔伯特在巴黎第二次国际数学家大会上作了题为“数学问题”的著名讲演中提到，数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边，数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。从九章算术中的四则运算，到符号化的多元一次代数方程，再到代表线性空间、线性变化的矩阵，逐层的往上抽象，解决问题的层次从个别的、具体的、复杂的技巧向着抽象的、统一的、一般的抽象工具发展，每一次抽象都对问题的解决方式有了质的革命，问题难度有了质的下降。而高次方程的求解这个困扰了人类几百年的问题也在Abel与Galois抛弃旧的个别的、具体的解方程技巧，而建立“域”与“群”的抽象后彻底解决。而数学界讨论了几千年的尺规作图问题，也由于域论的出现而彻底解决。
在笔者看来，所谓的抽象，与机器学习里的升维有异曲同工之妙。对问题和工具的抽象，可以看做某种“升维”，也就是跳出当前问题的具体解法和繁琐技巧，从思想上提升一个维度建立更加高级、更一般、更抽象的工具解决问题。机器学习中的支持向量机（SVM）算法通常会用到核技巧，而核技巧可以看作一种升维过程。我们知道，低维空间中的线性分类器无法很好地处理线性不可分数据。然而，这时如果我们将数据提升一个维度，数据之间的界限迅速变得清楚明了，（图片来自小孩白癜风能治好么北京哪家医院白癜风好