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二叉排序树

一.二叉排序树定义

二叉排序树（Binary Sort Tree）或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：

若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。
左右子树也都是二叉排序树。

由图9.4 可以看出，对二叉排序树进行中序遍历，便可得到一个按关键码有序的序列，因此，一个无序序列，可通过构一棵二叉排序树而成为有序序列。

二.二叉排序树查找过程

从其定义可见，二叉排序树的查找过程为：

若查找树为空，查找失败。
查找树非空，将给定值kx 与查找树的根结点关键码比较。
若相等，查找成功，结束查找过程，否则，
a．当给kx 小于根结点关键码，查找将在以左子女为根的子树上继续进行，转①
b．当给kx 大于根结点关键码，查找将在以右子女为根的子树上继续进行，转①

以二叉链表作为二叉排序树的存储结构，则查找过程算法程序描述如下：
typedef struct NODE
{ ElemType elem; /*数据元素字段*/
struct NODE *lc,*rc; /*左、右指针字段*/
}NodeType; /*二叉树结点类型*/

【算法9.4】
int SearchElem(NodeType *t,NodeType **p,NodeType **q,KeyType kx)
{ /*在二叉排序树t 上查找关键码为kx 的元素，若找到，返回1，且q 指向该结点，p 指向其父结点；*/
/*否则，返回0，且p 指向查找失败的最后一个结点*/int flag=0; *q=t;while(*q) /*从根结点开始
查找*/{ if(kx>(*q)->elem.key) /*kx 大于当前结点*q 的元素关键码*/
{ *p=*q; *q=(*q)->rc; } /*将当前结点*q 的右子女置为新根*/
else
{ if(kx<(*q)->elem.key) /*kx 小于当前结点*q 的元素关键码*/
{ *p=*q; *q=(*q)->lc;} /*将当前结点*q 的左子女置为新根*/
else {flag=1;break;} /*查找成功，返回*/
}
}/*while*/
return flag;
}

三.二叉排序树插入操作和构造一棵二叉排序树

先讨论向二叉排序树中插入一个结点的过程：设待插入结点的关键码为kx，为将其插入，先要在二叉排序树中进行查找，若查找成功，按二叉排序树定义，待插入结点已存在，不用插入；查找不成功时，则插入之。因此，新插入结点一定是作为叶子结点添加上去的。

构造一棵二叉排序树则是逐个插入结点的过程。
【例9.3】记录的关键码序列为：63，90，70，55，67，42，98，83，10，45，58，则构造一棵二叉排序树的过程如下：

【算法9.5】
int InsertNode (NodeType **t,KeyType kx)
{ /*在二叉排序树*t 上插入关键码为kx 的结点*/
NodeType *p=*t,*q,*s; int flag=0;
if(!SearchElem(*t,&p,&q,kx)); /*在*t 为根的子树上查找*/
{ s=(NodeType *))malloc(sizeof(NodeType)); /*申请结点，并赋值*/
s->elem.key=kx;s->lc=NULL;s->rc=NULL;
flag=1; /*设置插入成功标志*/
if(!p) t=s; /*向空树中插入时*/
else
{ if(kx>p->elem.key) p->rc=s; /*插入结点为p 的右子女*/
else p->lc=s; /*插入结点为p 的左子女*/
}
}
return flag;
}

四.二叉排序树删除操作

从二叉排序树中删除一个结点之后，使其仍能保持二叉排序树的特性即可。设待删结点为*p（p 为指向待删结点的指针），其双亲结点为*f，以下分三种情况进行讨论。

*p 结点为叶结点，由于删去叶结点后不影响整棵树的特性，所以，只需将被删结点的双亲结点相应指针域改为空指针。如图9.6。
*p 结点只有右子树pr 或只有左子树pl，此时，只需将pr 或pl 替换*f 结点的*p 子树即可。如图9.7。
*p 结点既有左子树Pl 又有右子树Pr，可按中序遍历保持有序进行调整。

设删除*p 结点前，中序遍历序列为：

P 为F 的左子女时有：…，Pl 子树，P，Pj ，S 子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，F，…
P 为F 的右子女时有：…，F，Pl 子树，P，Pj ，S 子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，…

则删除*p 结点后，中序遍历序列应为：

P 为F 的左子女时有：…，Pl 子树，Pj ，S 子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，F，…
P 为F 的右子女时有：…，F，Pl 子树，Pj ，S 子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，…

有两种调整方法：

直接令pl 为*f 相应的子树，以pr 为pl 中序遍历的最后一个结点pk 的右子树；
令*p 结点的直接前驱Pr 或直接后继（对Pl子树中序遍历的最后一个结点Pk）替换*p 结点，再按⒉的方法删去Pr 或Pk。图9.8 所示的就是以*p 结点的直接前驱Pr 替换*p。

【算法9.6】
int DeleteNode(NodeType **t,KeyType kx)
{ NodeType *p=*t,*q,*s,**f;
int flag=0;
if(SearchElem(*t,&p,&q,kx));
{ flag=1; /*查找成功，置删除成功标志*/
if(p= =q) f=&(*t); /*待删结点为根结点时*/
else /*待删结点非根结点时*/
{ f=&(p->lc); if(kx>p->elem.key) f=&(p->rc);
} /*f 指向待删结点的父结点的相应指针域*/
if(!q->rc) *f=q->lc; /*若待删结点无右子树，以左子树替换待删结点*/
else
{ if(!q->lc) *f=q->rc; /*若待删结点无左子树，以右子树替换待删结点*/
else /*既有左子树又有右子树*/
{ p=q->rc;s=p;
while(p->lc) {s=p;p=p->lc;}/*在右子树上搜索待删结点的前驱p*/
*f=p;p->lc=q->lc; /*替换待删结点q，重接左子树*/
if(s!=p)
{ s->lc=p->rc; /*待删结点的右子女有左子树时，还要重接右子树*/
p->rc=q->rc;
}
}
}
free(q);
}
return flag;
}

对给定序列建立二叉排序树，若左右子树均匀分布，则其查找过程类似于有序表的折半查找。但若给定序列原本有序，则建立的二叉排序树就蜕化为单链表，其查找效率同顺序查找一样。因此，对均匀的二叉排序树进行插入或删除结点后，应对其调整，使其依然保持均匀。

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